Question

8．高一（9）班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知，某珍惜植物種子在一定條件下的發(fā)芽成功的概率為$\frac{1}{3}$，該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)．
（1）第一組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下1粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次發(fā)芽成功的概率；
（2）第二小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下1粒種子），如果在一次實(shí)驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則就繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn)．直到種子發(fā)芽成功為止，但實(shí)驗(yàn)的次數(shù)不超過(guò)5次．求第二小組所做的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，利用n次對(duì)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率公式與互斥事件的概率求出他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率；
（2）依題意判斷出隨機(jī)變量ξ可取的值及取每一個(gè)值的概率值，列出分布列，根據(jù)期望的公式求出這一小組所做的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)ξ的分布列．

解答 解：（1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，
即：${C}_{5}^{3}{（\frac{1}{3}）}^{3}{（1-\frac{1}{3}）}^{2}+{C}_{5}^{4}{（\frac{1}{3}）}^{4}（1-\frac{1}{3}）+{C}_{5}^{5}$${（\frac{1}{3}）}^{5}$=$\frac{61}{243}$
（2）依題意有，ξ取得所有可能值為1，2，3，4，5

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{81}$	$\frac{41}{81}$

Eξ=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{9}+3×\frac{1}{27}+4×\frac{1}{81}+5×\frac{41}{81}=\frac{263}{81}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大．