Question

13．如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，過點A的切線與CB的延長線交于點P，且$PA=8\sqrt{2}$，PB=8．
（1）若∠APB=45°求∠D的大��；
（2）若⊙O的半徑為5，求圓心O到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圓的內接四邊形的性質即可得出；
（2）連接OC，作OM⊥BC于M，由垂徑定理可知：M為BC的中點，利用切割線定理與勾股定理即可得出．

解答 解：（1）在△PAB中，有$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，∠APB=45°．
由余弦定理得：$A{B}^{2}={8}^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}-2×8×8\sqrt{2}cos4{5}^{°}$=64，解得AB=8．
∴AB=PB，∠BAP=45°，
∴∠ABP=Rt∠．
所以△PAB為Rt△，即AB⊥PC．
所以∠ABC=90°，
又因為四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
所以∠D=90°．
（2）連接OC，作OM⊥BC于M，
由垂徑定理可知：M為BC的中點，
由切割線定理得：PA²=PB•PC，
又$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，
所以PC=16，BC=8，MC=4．
因為⊙O的半徑為5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，
所求圓心O到直線BC的距離為3．

點評 本題考查了余弦定理、圓的內接四邊形的性質、垂徑定理、切割線定理與勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．