Question

18．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為正半軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-2sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a為常數(shù)）．
（1）求直線l普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1：2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)公式，把極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t，把參數(shù)方程化為普通方程；
（2）根據(jù)題意，得出直線l被圓C截得的弦所對的圓心角為120°，圓心C到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$r，由此列出方程求出a的值．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ-2sinθ可化為ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
利用極坐標(biāo)公式，化為普通方程是x²+y²=4x-2y，
即（x-2）²+（y+1）²=5；
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$，
消去參數(shù)t，化為普通方程是y=$\frac{1}{2}$-ax；
（2）圓C的方程為（x-2）²+（y+1）²=5，圓心C為（2，-1），半徑r=$\sqrt{5}$，
直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$-ax，即ax+y-$\frac{1}{2}$=0，
直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，
∴直線l被圓截得的弦所對的圓心角為120°，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{|2a-1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
整理得11a²-24a+4=0，
解得a=2或a=$\frac{2}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，由題意得出圓心C到直線l的距離d等于半徑r的一半是解題的關(guān)鍵．