Question

6．有下列敘述：
①y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間為[0，+∞）；
②函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，則f（2）=$\frac{3}{4}$；
③函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x₁、x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則函數(shù)x=-3是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；
④已知函數(shù)f（x）=x|x|，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．
其中所有正確敘述的序號(hào)是②③④．

Answer 1

分析 ①作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．
②利用抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行遞推即可．
③根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解．
④判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：①作出y=x²-2|x|-3的圖象如圖：則函遞增區(qū)間（-1，0）和[1，+∞），故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，
則f（8）=2f（4）=3，則f（4）=3，則f（2）=$\frac{1}{2}$f（4）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$；故②正確，
③函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
則當(dāng)x=-3時(shí)，f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=f（3）+f（3），則f（3）=0，
則f（x+6）=f（x），
當(dāng)x₁、x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
則函數(shù)f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=0對(duì)稱，
則f（-3-x）=f（-3-x+6）=f（3-x）=f（-3+x），
則函數(shù)x=-3是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，故③正確，
④當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²遞增，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²遞增，
函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（$\sqrt{2}$-1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（$\sqrt{2}$-1）（t+2），
解得：t≥$\sqrt{2}$，故④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．