Question

17．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別在棱AB，CC₁，D₁A₁上，且正方體的棱長為a，AE=CF=D₁G=b，則DB₁與平面EFG所成角為（　　）

• A． 75°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 15°

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出DB₁與平面EFG所成角．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別在棱AB，CC₁，D₁A₁上，
且正方體的棱長為a，AE=CF=D₁G=b，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B₁（a，a，a），E（a，b，0），F(xiàn)（0，a，b），G（b，0，a），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（a，a，a），$\overrightarrow{EF}$=（-a，a-b，b），$\overrightarrow{EG}$=（b-a，-b，a），
設(shè)平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-ax+（a-b）y+bz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=（b-a）x-by+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設(shè)DB₁與平面EFG所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|3a|}{\sqrt{3}a•\sqrt{3}}$=1，
∴θ=90°，
∴DB₁與平面EFG所成角為90°，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．