Question

1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE
（Ⅰ）求證：平面SBC⊥平面SAE
（Ⅱ）若G為DE中點(diǎn)，求二面角G-AF-E的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)證明BC與平面SAE內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；
（Ⅱ）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB，AS為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系O-xyz，分別求出設(shè)平面AFG的法向量為$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1），平面AFE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-2，0），利用向量的夾角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，
又∵AC=AB，且點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥AE，
∵SA∩AE=A，
∴BC⊥底面SAE，
∵BC?平面SBC，
∴平面SBC⊥平面SAE．
（Ⅱ）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB，AS為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，$\frac{1}{2}$，0），C（2，0，0），B（0，2，0）
由SF=2FE得F（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AG}$=G（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0）
設(shè)平面AFG的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=2，得到x=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1）
設(shè)平面AFG的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=2，得到x=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1）
設(shè)平面AFE的法向量為$\overrightarrow{n}$
由（Ⅰ）知$\overrightarrow{BC}$為平面AES的一個(gè)法向量，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0）
∴cosα=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2-4}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵二面角G-AF-E的平面角為銳角，
∴二面角G-AF-E的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何圖形中線面關(guān)系的平行或垂直的證明及空間角的計(jì)算，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．