Question

10．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃及S₂，S₃的值；
（2）若存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}成等差數(shù)列，求出λ的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知中a₁=3，前n項和為S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2），代入遞推可得a₂，a₃及S₂，S₃的值；
（2）先假設(shè)存在實數(shù)λ，進一步分析求實數(shù)λ，從而確定結(jié)論．進而先求出數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}的通項公式，進而得到S_n的表達式，進而可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：（1）∵a₁=3，前n項和為S_n，且a_n=S_n-1-2ⁿ-1（n≥2）．
∴a₂=S₁-2²-1=a₁-2²-1=-2，
∴S₂=1，
∴a₃=S₂-2³-1=-8，
∴S₃=-7；
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，
則：$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}+λ}{{2}^{n-1}}$必為與n無關(guān)的常數(shù)，
$\frac{{S}_{n}+λ}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}+λ}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{S}_{n}+λ-2（{S}_{n-1}+λ）}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}-{S}_{n-1}-λ}{{2}^{n}}$=$\frac{-{2}^{n}-1-λ}{{2}^{n}}$=-1-$\frac{1+λ}{{2}^{n}}$，
則：1+λ=0
解得：λ=-1，
則：$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{S}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=-1（n≥2）
數(shù)列{$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{\;}}$=1為首項，公差為-1的等差數(shù)列．
∴$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{n}}$=-n+2，
∴S_n=（-n+2）•2ⁿ+1，…①
當n≥2時，S_n-1=（-n+3）•2^n-1+1，…②
①-②得：
a_n=（-n+1）2^n-1，
當n=1時，a₁=3，
數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=$\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\（-n+1）•{2}^{n-1}，n≥2\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列通項公式的方法，難度中檔．