Question

10．定在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，若f（$\frac{1}{3}$）=0，則適合不等式f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0的x的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對稱性可將不等式f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0等價為：f（|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|）＞f（$\frac{1}{3}$），解此不等式即可得到所求的解集．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（$\frac{1}{3}$）=0
∴f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0等價為：f（|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|）＞f（$\frac{1}{3}$），
又f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|＞$\frac{1}{3}$，∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{27}}$x＞$\frac{1}{3}$或log${\;}_{\frac{1}{27}}$x＜-$\frac{1}{3}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞3．
即不等式的解集為{x|x＞3或0＜x＜$\frac{1}{3}$}
故答案為：（0，$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，是函數(shù)性質(zhì)綜合考查題，熟練掌握奇偶性與單調(diào)性的對應關系是解答的關鍵，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．