Question

5．不等式（x+$\frac{1}{2}$）²＜log_ax的解集為（0，$\frac{1}{2}$），則a的值為（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知得（x+$\frac{1}{2}$）²的最大值小于log_ax的最小值，從而（x+$\frac{1}{2}$）²＜1≤log_ax，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：∵（x+$\frac{1}{2}$）²＜log_ax的解集為（0，$\frac{1}{2}$），
∴（x+$\frac{1}{2}$）²的最大值小于log_ax的最小值，
∴（x+$\frac{1}{2}$）²＜1≤log_ax，
當a＞1時，log_ax遞增，但最小值為負數(shù)不成立；
當0＜a＜1時，log_ax遞減，
最小值在x=$\frac{1}{2}$上取到（但x取不到$\frac{1}{2}$）
∴l(xiāng)og_a$\frac{1}{2}$≥1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和對數(shù)性質(zhì)及運算法則的合理運用．