Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+ax（x≤1）}\\{{a}^{2}x-7a+14（x＞1）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值集合A；
（Ⅱ）若a∈A，且函數(shù)g（x）=1g[ax²+（a+3）x+4]的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a＜2時(shí)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得滿足條件；當(dāng)a≥2時(shí)，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則函數(shù)f（x）不為單調(diào)函數(shù)，即-1+a＞a²-7a+14，綜合討論結(jié)果可得答案；
（Ⅱ）由題意可得z=ax²+（a+3）x+4取到一切的正數(shù)，討論，a=0，a＞0，判別式不小于0，解不等式，再與A求交集，即可得到所求范圍．

解答 解：（I）當(dāng)-$\frac{a}{-2}$＜1，即a＜2時(shí)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：
存在x₁，x₂∈（-∞，1]且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
當(dāng)-$\frac{a}{-2}$≥1，即a≥2時(shí)，
若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
則-1+a＞a²-7a+14，
解得：3＜a＜5，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值集合是A=（-∞，2）∪（3，5）；
（Ⅱ）由題意可得z=ax²+（a+3）x+4取到一切的正數(shù)，
當(dāng)a=0時(shí)，z=3x+4取得一切的正數(shù)；
當(dāng)a＞0，判別式△≥0，即為（a+3）²-16a≥0，
解得a≥9或0＜a≤1．
綜上可得，a的范圍是$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤1或a≥9}\\{a＜2或3＜a＜5}\end{array}\right.$，
即為0≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想方法是解答的關(guān)鍵．