Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n+4n（n=1，2，3，…）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4n}{4-{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，利用遞推關(guān)系化為：a_n=2a_n-1-4，變形為a_n-4=2（a_n-1-4），再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+4n，∴當(dāng)n=1時，a₁=2a₁+4，解得a₁=-4．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+4n-[2a_n-1+4（n-1）]，化為：a_n=2a_n-1-4，變形為a_n-4=2（a_n-1-4），
∴數(shù)列{a_n-4}是等比數(shù)列，首項為-8，公比為2．
∴a_n-4=-8×2^n-1，化為a_n=4-2ⁿ⁺²．
（2）證明：b_n=$\frac{4n}{4-{a}_{n}}$=$\frac{4n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．