Question

13．已知△ABC中，A（2，1），B（3，-2），C（-3，1），邊BC上的高為AD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及|$\overrightarrow{AD}$|的值．

Answer 1

分析 利用向量共線定理、相互垂直的向量與數(shù)量積之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{BC}$=（-6，3），
設(shè)D（x，y），$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y+2）．
由AD⊥BC，可得：$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=-6（x-2）+3（y-1）=0，化為：2x-y-3=0；
∵點(diǎn)D在BC上，則存在實(shí)數(shù)λ使得$\overrightarrow{BD}$=$λ\overrightarrow{BC}$，∴x-3=-6λ，y+2=3λ，化為x+2y+1=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x+2y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-1．
∴D（1，-1），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，-2），
∴$|\overrightarrow{AD}|$=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、相互垂直的向量與數(shù)量積之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．