Question

11．已知圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），且與x軸相交的弦長為4，直線l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l與定圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（1，1）滿足2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的方程，根據(jù)直線L：mx-y+1-m=0 過定點(diǎn)P（1，1），再根據(jù)點(diǎn)P在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，可得直線L與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），由題意2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得2x₁+x₂=3． ①再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C，化簡可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ ②，由①②解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程求得m的值，從而求得直線l的方程．

解答 （1）證明：∵圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），且與x軸相交的弦長為4，
∴r=$\sqrt{5}$，
∴圓C：x²+（y-1）²=5
直線L：mx-y+1-m=0 即 y-1=m（x-1），故直線過定點(diǎn)P（1，1），
而1²+（1-1）²=1＜5，故點(diǎn)P在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，故直線L與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），
由題意2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C：x²+（y-1）²=5，化簡可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ ②．
由①②解得 x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1+2m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）．
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程可得 m²=1，故 m=±1，
故直線l的方程為 x-y=0，或x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．