Question

8．如圖，已知半橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1，x≥0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，曲線C₂是以半橢圓C₁的短軸為直徑的圓在y軸右側(cè)的部分，點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線C₂上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P且與曲線C₂相切的直線l與半橢圓C₁交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求直線l的方程（用x₀，y₀表示）；
（Ⅱ）求弦|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用離心率計(jì)算公式及已知即可得出a．設(shè)Q（x，y）為直線l上任意一點(diǎn)，利用圓的切線的性質(zhì)可得進(jìn)而即可求出．
（II）分切點(diǎn)P為（1，0）和不為（1，0）時(shí)兩種情況討論．把切線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式、基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
c²=$\frac{3}{4}{a}^{2}$=a²-1，
解得a²=4，a=2，
半橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1，（x≥0）$，
曲線C₂的方程為x²+y²=1，（x≥0），
如果x₀≠0，且y₀≠0，則直線OP的斜率為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，從而過P的圓的切線l的斜率為$-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
因此所求的直線方程為y-y₀=$-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），
化簡得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²，
∵x₀²+y₀²=1，
∴x₀x+y₀y=1，
即直線l的方程為x₀x+y₀y=1，
如果x₀=0或y₀=0，可以驗(yàn)證切線的方程也是x₀x+y₀y=1，
綜上直線l的方程為x₀x+y₀y=1．
（Ⅱ）當(dāng)x₀≠0，且y₀≠0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得$（1+\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}）{x}^{2}-\frac{8{x}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}}+\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}-4=0$，（•）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在曲線C₂：x²+y²=1，（x≥0）上，
∴（•）式即為（3x₀²+1）x²-8x₀x+4x₀²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}+1}$，
∵x₀＞0，x₀²+y₀²=1，
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}）^{2}}•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{1}{|{y}_{0}|}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{1}{|{y}_{0}|}$•$\sqrt{（\frac{8{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}+1}）^{2}-\frac{16{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}+1}}$=$\frac{1}{|{y}_{0}|}$•$\sqrt{\frac{48{{x}_{0}}^{2}（1-{{x}_{0}}^{2}）}{（3{{x}_{0}}^{2}+1）^{2}}}$
=4$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}（1-{{x}_{0}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{2}（3{{x}_{0}}^{2}+1）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}+1}=\frac{4\sqrt{3}}{3{x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}}$$≤\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}=2}$
當(dāng)且僅當(dāng)3x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，即x₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x₀=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍）時(shí)，|AB|取得最大值2，
②當(dāng)x₀=0時(shí)，直線l與半橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意．
③當(dāng)y₀=0時(shí)，直線l⊥x軸，y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)|AB|=$\sqrt{3}$，
綜上，|AB|取得最大值2．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、相交弦的弦長的計(jì)算，考查了推理能力和計(jì)算能力．綜合性較強(qiáng)，難度較大．