Question

20．任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，恒成立，則f（x）稱為[a，b]上的凸函數(shù)．下列函數(shù)中①y=2^x，②y=log₂x，③y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$在其定義域上為凸函數(shù)是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由凸函數(shù)的概念，得出凸函數(shù)的幾何特征，根據(jù)幾何特征可作出四個函數(shù)①y=2^x，②y=log₂x，③y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$的圖象，觀察圖象即可得到答案．

解答 解：根據(jù)題意：任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，恒成立，f（x）稱為[a，b]上的凸函數(shù)知：
在函數(shù)y=f（x）的圖象上任取不同的兩點A、B，線段AB（端點除外）總在f（x）圖象的上方，則函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，
分別作出四個函數(shù)的圖象，如圖所示．
∴觀察①y=2^x，②y=log₂x，③y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$在其定義域上的圖象，②，③滿足凸函數(shù)的概念，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的圖象，關(guān)鍵在于作出符合凸函數(shù)的概念的函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．