Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x．設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)為y=2．
（I）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=me^x+m，其中m＞1，對(duì)于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＜g（x）均成立．求m取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）任意x∈[1，2]，不等式f（x）＜g（x）均成立，即為（x²-2x+2）e^x＜me^x+m，即m＞$\frac{（{x}^{2}-2x+2）{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的最大值．設(shè)h（x）=$\frac{（{x}^{2}-2x+2）{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x²+ax+b+2x+a）e^x，
由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)為y=2，
可得f（0）=2，f′（0）=0，
即為b=2，a+b=0，
解得a=-2，b=2；
（Ⅱ）任意x∈[1，2]，不等式f（x）＜g（x）均成立，
即為（x²-2x+2）e^x＜me^x+m，
即m＞$\frac{（{x}^{2}-2x+2）{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的最大值．
設(shè)h（x）=$\frac{（{x}^{2}-2x+2）{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，h′（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}+2{e}^{2x}（x-1）}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
可得h（x）的最大值為h（2）=$\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，
即有m＞$\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，又m＞1，
可得m的范圍是（$\frac{2{e}^{2}}{{e}^{2}+1}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．