Question

7．已知函數(shù)$f（x）=kx-（k+1）lnx-\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＞1在區(qū)間[1，e]上無解．（其中e=2.71828…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，化簡函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜k＜1時(shí)，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值，然后判斷結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?f（x）=kx-（k+1）lnx-\frac{1}{x}$，
所以$f'（x）=k-\frac{k+1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{{k{x^2}-（k+1）x+1}}{x^2}$，…．（1分）
當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，$f'（x）=\frac{{\frac{1}{2}（x-2）（x-1）}}{x^2}$．…．（2分）
令$f'（x）=\frac{{\frac{1}{2}（x-2）（x-1）}}{x^2}=0$，得x₁=1，x₂=2，…．（3分）
所以f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…．（6分）
所以f（x）在x=1處取得極大值$f（1）=-\frac{1}{2}$，
在x=2處取得極小值$f（2）=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}ln2$．…．（7分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．…．（8分）
（Ⅱ）證明：不等式f（x）＞1在區(qū)間[1，e]上無解，等價(jià)于f（x）≤1在區(qū)間[1，e]上恒成立，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值小于等于1．
因?yàn)?f'（x）=\frac{{k（x-\frac{1}{k}）（x-1）}}{x^2}$，
令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{k}，{x_2}=1$．…．（9分）
因?yàn)?＜k＜1時(shí)，所以$\frac{1}{k}＞1$．
當(dāng)$\frac{1}{k}≥e$時(shí)，f'（x）≤0對x∈[1，e]成立，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，…．（10分）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（1）=k-1＜1，
所以不等式f（x）＞1在區(qū)間[1，e]上無解；…．（11分）
當(dāng)$\frac{1}{k}＜e$時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	$（1，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，e）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（1）或f（e）．…．（12分）
此時(shí)f（1）=k-1＜1，$f（e）=ke-（k+1）-\frac{1}{e}$，
所以$f（e）-1=ke-（k+1）-\frac{1}{e}-1$=$k（e-1）-2-\frac{1}{e}＜（e-1）-2-\frac{1}{e}=e-3-\frac{1}{e}＜0$．
綜上，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＞1在區(qū)間[1，e]上無解．…．（13分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．