Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2AB，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB，PA=AB=BC．
（1）求證：PD∥平面AEC；
（2）若PA=3，求三棱錐P-ACE的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)M，連結(jié)EM．判斷△ABM∽△CDM，推出PD∥EM即可證明PD∥平面AEC．
（2）取CD中點(diǎn)F，連接BF，AF，求出E到平面PAC的距離是B到平面PAC的距離，利用V_P-ACE=V_E-PAC轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)M，連結(jié)EM．
∵AB∥CD，∴△ABM∽△CDM…．（2分）
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
又PE=2EB，∴$\frac{BM}{MD}=\frac{EB}{PE}=\frac{1}{2}$，∴PD∥EM…．（5分）
∵EM?平面AEC，PD?平面AEC，∴PD∥平面AEC．…．（6分）
（2）取CD中點(diǎn)F，連接BF，AF，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BF，
又∵AC⊥BF，AC∩PA=A，∴BF⊥平面PAC，$BF=3\sqrt{2}$，
又因?yàn)镻E=2EB，
所以，E到平面PAC的距離是B到平面PAC的距離的$\frac{2}{3}$，所以$h=\sqrt{2}$…（9分）
${V_{P-ACE}}={V_{E-PAC}}=\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3\sqrt{2}•3•\sqrt{2}=3$…．（12分）
注：其它解法酌情給分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．