Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A和B，且$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共線，若點(diǎn)O，F(xiàn)分別為橢圓C的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最大值為6，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．

Answer 1

分析 通過(guò)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共線可知b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，從而可知F（-$\frac{a}{2}$，0），通過(guò)設(shè)P（x，y），進(jìn)而化簡(jiǎn)可知$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{4}$（x+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，利用-a≤x≤a可知$\frac{1}{4}$（a+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=6，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，A（0，b），B（a，0），O（0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，-b），
又∵$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共線，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=-b，即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴橢圓方程可化為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
∴F（-$\frac{a}{2}$，0），
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+$\frac{a}{2}$，y）
=$\frac{a}{2}$x+x²+y²
=$\frac{a}{2}$x+x²+$\frac{3}{4}$（a²-x²）
=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{4}$a²
=$\frac{1}{4}$（x+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵-a≤x≤a，
∴當(dāng)x=a時(shí)，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$取最大值為6，
∴$\frac{1}{4}$（a+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=6，
解得：a=2或a=-2（舍），
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．注：本題亦可通過(guò)兩向量同向時(shí)數(shù)量積最大從而直接確定點(diǎn)P為右端點(diǎn)．