Question

17．如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，點E為棱PA的中點，則異面直線BE與PD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，連接AC，BD，設(shè)交于O點，連接PO，從而可以根據(jù)條件得到OB，OC，OP三直線兩兩垂直，可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出空間一些點的坐標(biāo)，從而可得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{PD}$的坐標(biāo)，從而可以求得這兩向量夾角的余弦值，從而便可得到異面直線BE與PD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，連接AC，BD，并交于O點，連接PO，根據(jù)題意知，PO⊥底面ABCD；
又底面ABCD為正方形；
∴AC⊥BD；
∴OB，OC，OP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

根據(jù)條件可確定以下幾點坐標(biāo)：A（0，$-\sqrt{2}$，0），$P（0，0，\sqrt{2}）$，$E（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$B（\sqrt{2}，0，0），D（-\sqrt{2}，0，0）$；
∴$\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}=2+0-1=1$，$|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{3}，|\overrightarrow{PD}|=2$；
∴$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{PD}＞=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴異面直線BE與PD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線所成角問題的方法，能求空間點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)可以得出向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，以及向量夾角余弦的計算公式，清楚異面直線所成角和異面直線的方向向量夾角的關(guān)系．