9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積為-$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)F(-$\sqrt{3}$,0)的直線l與軌跡C交于M、N兩點(diǎn),且軌跡C上存在點(diǎn)E使得四邊形OMEN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為平行四邊形,求直線l的方程.

分析 (Ⅰ)設(shè)出P的坐標(biāo),由${k}_{PA}•{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$化簡整理可得曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意知l的斜率一定不為0,設(shè)l:x=my-$\sqrt{3}$,代入橢圓方程整理得(m2+4)y2-$2\sqrt{3}$my-1=0,假設(shè)存在點(diǎn)E,使得四邊形OMEN為平行四邊形,其充要條件為$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2).由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由${k}_{PA}•{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$,得
$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$,整理得:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意知l的斜率一定不為0,
故不妨設(shè)l:x=my-$\sqrt{3}$,代入橢圓方程整理得(m2+4)y2-$2\sqrt{3}$my-1=0,
△=12m2+4m2+16=16m2+16>0,
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4},{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{m}^{2}+4}$,①
假設(shè)存在點(diǎn)E,使得四邊形OMEN為平行四邊形,
其充要條件為$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2).
由點(diǎn)E在橢圓上,即$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}}{4}+({y}_{1}+{y}_{2})^{2}=1$,
整理得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+8{y}_{1}{y}_{2}-4=0$.
又M,N在橢圓上,即${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4,{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4$,
故x1x2+4y1y2=-2,②
又${x}_{1}{x}_{2}=(m{y}_{1}-\sqrt{3})(m{y}_{2}-\sqrt{3})$=${m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-\sqrt{3}m({y}_{1}+{y}_{2})+3$,
將①②代入上式解得m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
即直線l的方程是:x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y+1,
即$\sqrt{5}x±2y-\sqrt{5}=0$.

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用,是中檔題.

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