Question

5．已知函數(shù)f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中a∈R，θ∈（0，π），則f（$\frac{3π}{16}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 把x=$\frac{π}{4}$代入函數(shù)解析式可求得a的值，進而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進而求得cosθ，則θ的值可得，即可求出f（$\frac{3π}{16}$）．

解答 解：f（$\frac{π}{4}$）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$sin4x，
∴f（$\frac{3π}{16}$）=-$\frac{1}{2}$sin$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)關系，三角函數(shù)恒等變換的應用，函數(shù)奇偶性問題．綜合運用了所學知識解決問題的能力．