Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{p}$=（2sinA，cos（A-B）），$\overrightarrow{q}$=（sinB，-1），且$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，求b-a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=$\frac{1}{2}$，得$2sinAsinB-cos（A-B）=\frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)可得$cosC=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB．從而可得b-a=$2cos（A+\frac{π}{6}）$，由$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得b-a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=$\frac{1}{2}$，得$2sinAsinB-cos（A-B）=\frac{1}{2}$，…（1分）
$2sinAsinB-cosAcosB-sinAsinB=\frac{1}{2}$，…（2分）
∴$cos（A+B）=-\frac{1}{2}$，即$cosC=\frac{1}{2}$，…（4分）
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$c=\sqrt{3}$，且$C=\frac{π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴a=2sinA，b=2sinB．…（7分）
∴b-a=2sinB-2sinA=$2sin（A+\frac{π}{3}）-2sinA$…（8分）
=$sinA+\sqrt{3}cosA-2sinA$=$\sqrt{3}cosA-sinA$…（9分）
=$2cos（A+\frac{π}{6}）$，…（10分）
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜cos（A+\frac{π}{6}）＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（11分）
∴$b-a∈（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量共線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．