Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}$的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，-$\frac{3}{2}$），B（3，3）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；
（Ⅲ）若m，n∈（2，+∞）且函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇1，3]，求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）便可得到關(guān)于a，b的方程組，可解出a，b，從而得到$f（x）=\frac{3}{x-2}$；
（Ⅱ）容易判斷f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞2，然后作差，通分，從而證明f（x₁）＜f（x₂），這樣便得出f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）根據(jù)條件可得到f（x）在[m，n]上單調(diào)遞減，從而有f（m）=3，f（n）=1，這樣便可求出m，n，從而得出m+n的值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-a}=-\frac{3}{2}}\\{\frac{3-a}=3}\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴$f（x）=\frac{3}{x-2}$；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
證明：設(shè)x₁＞x₂＞2，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{1}-2}-\frac{3}{{x}_{2}-2}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$；
∵x₁＞x₂＞2；
∴x₂-x₁＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0；
∴$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（Ⅲ）∵m，n∈（2，+∞）；
∴函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞減；
∴f（m）=3，f（n）=1；
即$\frac{3}{m-2}=3，\frac{3}{n-2}=1$；
∴m=3，n=5；
∴m+n=8．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法．