Question

16．已知圓C：x²+y²+2x-4y+m=0與y軸相切．
（1）求m的值；
（2）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求該切線方程．

Answer 1

分析 （1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程后，找出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓與y軸相切，求出m的值即可．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求該切線方程．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得：（x+1）²+（y-2）²=5-m，可知圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為$\sqrt{5-m}$
由圓的方程與y軸相切，得$\sqrt{5-m}$=1，所以m=4；
（2）直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y=kx，即kx-y=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，∴y=-$\frac{3}{4}$x；
直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y+a=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}$=1，∴a=-1±$\sqrt{2}$，∴方程為x+y-1±$\sqrt{2}$=0．
綜上所述，切線方程為y=-$\frac{3}{4}$x或x+y-1±$\sqrt{2}$=0．

點(diǎn)評 考查學(xué)生會(huì)將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程并從標(biāo)準(zhǔn)方程中找出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件．