Question

1．已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=m-4，f（m）=-m²+m-4，且對任意的實(shí)數(shù)t，都有f（-t）=f（2m+t）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（-1，3），求實(shí)數(shù)m的取值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為-$\frac{19}{4}$，求實(shí)數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （1）對任意的實(shí)數(shù)t，都有f（-t）=f（2m+t），函數(shù)的對稱軸為x=m，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（-1，3），-1，3是方程（x-m）²-m²+m-4=0的根，即可求實(shí)數(shù)m的取值；
（3）分類討論，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為-$\frac{19}{4}$，求實(shí)數(shù)m的取值．

解答 解：（1）∵對任意的實(shí)數(shù)t，都有f（-t）=f（2m+t）．
∴函數(shù)的對稱軸為x=m，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，
∴m≤-1或m≥3；
（2）設(shè)函數(shù)為f（x）=a（x-m）²-m²+m-4，
∵f（0）=m-4，
∴am²-m²+m-4=m-4，
∴a=1，
∴f（x）=（x-m）²-m²+m-4，
∵關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（-1，3），
∴-1，3是方程（x-m）²-m²+m-4=0的根，
∴（-1）×3=2m，
∴m=-$\frac{3}{2}$；
（3）m≤0，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為f（0）=m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=-$\frac{3}{4}$；
0＜m＜2，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為f（m）=-m²+m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=$\frac{1}{2}$；
m≥2，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為f（2）=（2-m）²-m²+m-4=-$\frac{19}{4}$，∴m=$\frac{19}{12}$舍去．
綜上所述，m=-$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．