Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且nS_n+（n+2）a_n=4n，則S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 nS_n+（n+2）a_n=4n，可得S_n+$（1+\frac{2}{n}）$a_n=4，當(dāng)n=1時(shí)，解得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+$（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}$=4，可得：$2（1+\frac{1}{n}）$a_n=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，利用“累乘求積”可得a_n，代入nS_n+（n+2）a_n=4n，即可得出．

解答 解：∵nS_n+（n+2）a_n=4n，
∴S_n+$（1+\frac{2}{n}）$a_n=4，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁+3a₁=4，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+$（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}$=4，
化為：$2（1+\frac{1}{n}）$a_n=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$•\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$×1
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
代入nS_n+（n+2）a_n=4n，
∴nS_n+$\frac{n（n+2）}{{2}^{n-1}}$=4n，
∴S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“累乘求積”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．