Question

5．如圖，線(xiàn)段AB長(zhǎng)度為2，以AB為直徑作半圓O，又以半圓O的一條弦AC為邊作正方形ACDE，設(shè)△OED的面積為S，∠CAB=α．
（1）試將S表示成關(guān)于α的函數(shù)；
（2）求S的最大值，并求S取得最大值時(shí)α的大�。�

Answer 1

分析 （1）如圖所示，作OG⊥DE于G，S=$\frac{1}{2}DE×OG$，求出DE，OG，即可將S表示成關(guān)于α的函數(shù)；
（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求S的最大值，并求S取得最大值時(shí)α的大�。�

解答 解：（1）如圖所示，作OG⊥DE于G，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵A，C，D，E為正方形，
∴∠ACD=90°，
∴B，C，D在同一直線(xiàn)上，OG∥BD，
∵AE=DE=DC=AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα，
∴BD=DC+BC=2（cosα+sinα），
∵OG是梯形ABDE的中位線(xiàn)，
∴OG=$\frac{1}{2}$（AE+BD）=2cosα+sinα，
∴S=$\frac{1}{2}DE×OG$=$\frac{1}{2}$×2cosα×（2cosα+sinα）=cos2α+sin2α+1；
（2）S=cos2α+sin2α+1=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）+1，
∴2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{8}$時(shí)，S取最大值$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查輔助角公式，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．