Question

17．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8$\sqrt{2}$，圓N：x²+（y-1）²=1在橢圓M內(nèi)部，且與其相切．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，AB+AF₂+BF₂=AF₁+BF₁+AF₂+BF₂=4a，可求a，由圓N：x²+（y-1）²=1在橢圓M內(nèi)部，且與其相切，可求b，進而可求橢圓M的方程；
（2）由題意可得N（0，1）設(shè)P（x，y），$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$，代入向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合y的范圍可求．

解答 解：（1）由題意可得，AB+AF₂+BF₂=AF₁+BF₁+AF₂+BF₂=4a=8$\sqrt{2}$，
∴$a=2\sqrt{2}$，
∵圓N：x²+（y-1）²=1在橢圓M內(nèi)部，且與其相切，
∴b=2；
∴橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由題意可得N（0，1）設(shè)P（x，y），
則$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 即x²=8-2y²，
${\overrightarrow{NP}}^{2}$=x²+（y-1）²=8-2y²+（y-1）²=-y²-2y+9=-（y+1）²+10
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$，
=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=-（y+1）²+9（*）
∵y∈[-2，2]，
當(dāng)y=-1時，（*）取得最大值9，當(dāng)y=2時，（*）取得最小值0，
∴0≤$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$≤9．

點評 本題考查利用橢圓的定義求解橢圓方程，橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵 是靈活利用基本性質(zhì)．