Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+3}{x+1}$，x∈（0，+∞），數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，a₁=1．
（1）試比較|a_n+1-$\sqrt{3}$|與|a_n-$\sqrt{3}$|的大小，并說明理由．
（2）求證：|a₁-$\sqrt{3}$|+|a₂-$\sqrt{3}$|+|a₃-$\sqrt{3}$|+…+|a_n-$\sqrt{3}$|$＜\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）通過記b_n=|a_n-$\sqrt{3}$|，可知a_n≥1，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b_n≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$，比較即得結(jié)論；
（2）通過（1）、利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算、放縮即得結(jié)論．

解答 解：（1）結(jié)論：|a_n+1-$\sqrt{3}$|＜|a_n-$\sqrt{3}$|．
理由如下：
記b_n=|a_n-$\sqrt{3}$|，則b₁=$\sqrt{3}$-1，且a_n=1+$\frac{2}{{a}_{n-1}+1}$≥1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b_n≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$．
①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有b_k≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{k}}{{2}^{k-1}}$，
則b_k+1=|a_k+1-$\sqrt{3}$|=$|\frac{{a}_{k}+3}{{a}_{k}+1}-\sqrt{3}|$=$\frac{|{a}_{k}+3-\sqrt{3}{a}_{k}-\sqrt{3}|}{1+{a}_{k}}$=$\frac{|（1-\sqrt{3}）（{a}_{k}-\sqrt{3}）|}{1+{a}_{k}}$
=$\frac{（\sqrt{3}-1）|{a}_{k}-\sqrt{3}|}{1+{a}_{k}}$
＜$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$•b_k
≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{k+1}}{{2}^{k}}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①②可知，b_n≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$．
∴|a_n+1-$\sqrt{3}$|＜|a_n-$\sqrt{3}$|；
（2）證明：由（1）可知，b_n≤$\frac{（\sqrt{3}-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$，
從而|a₁-$\sqrt{3}$|+|a₂-$\sqrt{3}$|+|a₃-$\sqrt{3}$|+…+|a_n-$\sqrt{3}$|
≤$（\sqrt{3}-1）$•$\frac{1-（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{n}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$
＜$（\sqrt{3}-1）$•$\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$＜\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．