Question

18．已知直線l：x-y=1與圓Γ：x²+y²-2x+2y-1=0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓Γ上運動，且位于直線l的兩側，則四邊形ABCD面積的最大值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先求出弦長|AB|的長度，然后結合圓與直線的位置關系圖象，然后將ABCD的面積看成兩個三角形△ABC和△ACD的面積之和，分析可得當BD為AC的垂直平分線時，四邊形ABCD的面積最大．

解答 解：把圓Γ：x²+y²-2x+2y-1=0化為標準方程：（x-1）²+（y+1）²=3，圓心（1，-1），半徑r=$\sqrt{3}$．
直線與圓相交，由點到直線的距離公式的弦心距d=$\frac{|1×1-1×（-1）-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由勾股定理的半弦長=$\sqrt{3-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，所以弦長|AB|=$2×\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$．
又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側，四邊形ABCD的面積可以看成是兩個三角形△ABC和△ACD的面積之和，
如圖所示，


當B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線時（即為直徑時），兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，
最大面積為：S=$\frac{1}{2}|AB|×|CE|+\frac{1}{2}|AB|×|DE|$=$\frac{1}{2}|AB|×|CD|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題涉及到圓與位置關系的題目，可采用數(shù)形結合思想，實現(xiàn)代數(shù)和幾何間的轉化，然后分析題目具體問題，求解即可，屬于中檔題．