Question

5．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上且∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$
（1）計(jì)算|PF₁|的值x
（2）求△PF₁A的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得|PF₁|=x，則|PF₂|=10-x，|F₁F₂|=2$\sqrt{25-9}$=8，結(jié)合已知可余弦定理構(gòu)造方程，解得x值；
（2）由出sin∠PF₁F₂，進(jìn)而計(jì)算△PF₁F₂的面積，可得P到x軸的距離d，結(jié)合△PF₁A的底邊|F₁A|=a+c=9，可得三角形面積．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為橢圓上一點(diǎn)，
|PF₁|=x，則|PF₂|=10-x，|F₁F₂|=2$\sqrt{25-9}$=8，
∵∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$，
故cos∠PF₁F₂=$\frac{7}{8}$=$\frac{{x}^{2}+{8}^{2}-{（10-x）}^{2}}{2×8x}$，
解得：x=6，
（2）由∠PF₁F₂=arccos$\frac{7}{8}$，可得：sin∠PF₁F₂=$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
故△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{\sqrt{385}}{5}$）•（5-$\frac{\sqrt{385}}{5}$）•$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{20}$，
故P到x軸的距離d=$\frac{2S}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{80}$，
由|F₁A|=a+c=9，可得△PF₁A的面積為：$\frac{1}{2}×9$×$\frac{7\sqrt{15}}{80}$=$\frac{63\sqrt{15}}{160}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，難度中檔．