Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），定義：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|． 已知點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M為函數(shù)y=e^x上的動(dòng)點(diǎn)，則使d（B，M）取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義的概念，求出d（B，M）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x-1|+e^x，利用分段函數(shù)求出f（x）的最小值以及最小值對應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：∵B（1，0），點(diǎn)M為函數(shù)y=e^x上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（x，y），則
d（B，M）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x-1|+|e^x-0|=|x-1|+e^x；
設(shè)f（x）=|x-1|+e^x，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-1，x≥1}\\{{e}^{x}-x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=e^x+1≥0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）有最小值f（1）=e；
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=e^x-1，且f′（0）=0；
在x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，∴有最小值f（0）=2；
綜上，f（x）的最小值為2，此時(shí)對應(yīng)點(diǎn)為M（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了新定義的求兩點(diǎn)間的距離最小值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．