Question

8．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F，定點A（$\frac{5}{3}$a，0），在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由題意知|FP|=|FA|=$\frac{5}{3}$a-c，從而可得$\frac{5}{3}$a-c∈[a-c，a+c]，從而解得．

解答 解：∵線段AP的垂直平分線過點F，
∴|FP|=|FA|=$\frac{5}{3}$a-c，
又∵|FP|∈[a-c，a+c]，
∴$\frac{5}{3}$a-c∈[a-c，a+c]，
∴a≤3c，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查了圓錐曲線的定義的應用及橢圓的幾何性質(zhì)的應用，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想應用．