Question

4．已知P是拋物線C：x²=4y上一動點，直線l：y=x-2．
（1）求點P到直線l的最小距離；
（2）當P到直線l的距離最小時，求以點P為圓心且與拋物線C準線相切的圓方程．

Answer 1

分析 （1）先設直線y=x+t是拋物線的切線，最小距離是兩直線之間的距離；
（2）求出拋物線C的準線，可得半徑，即可求以點P為圓心且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

解答 解：（1）設直線y=x+t是拋物線的切線，所求最小距離是兩直線之間的距離，
代入化簡得x²-4x-4t=0
由△=0得t=-1
代入方程得x=2，y=1，
∴P為（2，1），
∴點P到直線l的最小距離為=$\frac{|2-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）拋物線C：x²=4y的準線為y=-1，
∵圓以點P為圓心且與拋物線C的準線相切，
∴半徑為2，
∴圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．

點評 本題主要考查拋物線的應用和拋物線與直線的關系．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．