Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinx•$\sqrt{1-co{s}^{2}x}$．
（1）化簡(jiǎn)f（x），判斷f（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）求f（$\frac{2015π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sinx的符號(hào)將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)，使用定義法證明奇偶性；
（2）根據(jù)（1）的化簡(jiǎn)結(jié)果計(jì)算．

解答 解：（1）f（x）=sinx|sinx|=$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}x，sinx≥0}\\{-si{n}^{2}x，sinx＜0}\end{array}\right.$．∴f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)sinx＞0時(shí)，sin（-x）＜0，∴f（x）=sin²x，f（-x）=-sin²（-x）=-sin²x．∴f（-x）=-f（x）；
當(dāng)sinx＜0時(shí)，sin（-x）＞0，∴f（x）=-sin²x，f（-x）=sin²（-x）=sin²x．∴f（-x）=-f（x）；
當(dāng)sinx=0時(shí)，f（x）=0，
綜上，f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵sin$\frac{2015π}{6}$=sin（336π-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$＜0．
∴f（$\frac{2015π}{6}$）=-（-$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．