Question

1．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1正方體．
（1）求證：B₁D₁∥面C₁BD；
（2）求證：A₁C⊥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體的幾何特征可得B₁D₁∥BD，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到B₁D₁∥平面C₁BD；
（2）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC，結(jié)合A₁A⊥BD，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，進而BD⊥A₁C，連接C₁O，可證得A₁C⊥C₁O，再利用線面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；

解答 解：（1）∵B₁D₁∥BD，
又BD?平面C₁BD，B₁D₁?平面C₁BD，
∴B₁D₁∥平面C₁BD．…（2分）
（2）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，
∴BD⊥平面A₁AC．
∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
連接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，設(shè)A₁C交C₁O于M．
由$\frac{{A}_{1}A}{AC}$=$\frac{OC}{C{C}_{1}}$，知∠ACA₁=∠CC₁O．
∴∠C1OC+A1CO=∠C1OC+∠CC1O=$\frac{π}{2}$，
∴∠CMO=$\frac{π}{2}$，
∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，
∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的幾何特征得B₁D₁∥BD，（2）的關(guān)鍵是得到BD⊥A₁C，A₁C⊥C₁O．