Question

14．下列結(jié)論：
①若命題p：存在x∈R，tan x=2；命題q：任意x∈R，x²-x+$\frac{1}{2}$＞0．則命題“p且（非q）”是假命題；
②已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是$\frac{a}$=-3；
③設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為$\sqrt{3}$．
④設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則當(dāng)$\frac{xy}{z}$取得最大值時，$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值為1．
其中正確結(jié)論的序號為①③④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①利用正切函數(shù)的性質(zhì)可知：命題p是真命題；對于命題q：利用二次函數(shù)的單調(diào)性是真命題．利用復(fù)合命題的真假判定方法即可判斷出：命題“p∧（￢q）”是假命題；
②對a，b，分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可判斷出正誤；
③不妨設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由于2a＜2c，可知：|PF₂|為最小邊，利用余弦定理及其橢圓的性質(zhì)即可得出；
④由正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{4xy-3xy}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，z=xy時取等號，即可得出$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值．

解答 解：①命題p：存在x∈R，tanx=2，是真命題；命題q：任意x∈R，x²-x+$\frac{1}{2}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$＞0，是真命題．則命題“p∧（￢q）”是假命題，正確；
②直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，當(dāng)a=0，b=0時，直線分別化為：3y-1=0，x+1=0，此時兩條直線相互垂直．當(dāng)a=0，b≠0或a≠0，b=0時，lt 此時兩條直線不相互垂直．當(dāng)a≠0，b≠0時，直線斜率分別為：-$\frac{a}{3}$，-$\frac{1}$，由于兩條直線相互垂直，可得：-$\frac{a}{3}$×（-$\frac{1}$）=-1，化為$\frac{a}$=-3．綜上可得：l₁⊥l₂的充分不必要條件是$\frac{a}$=-3，因此不正確；
③不妨設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，∵2a＜2c，∴|PF₂|為最小邊，已知△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，
由余弦定理可得：（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2ccos30°，化為：e²-2$\sqrt{3}$e+3=0，解得e=$\sqrt{3}$，則C的離心率為$\sqrt{3}$，正確．
④設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{4xy-3xy}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，z=xy時取等號，此時$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$=$\frac{1}{y}+\frac{1}{y}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=-$（\frac{1}{y}-1）^{2}$+1≤1，
當(dāng)x=2y=2，z=2時，取等號，則$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值為1．
其中正確結(jié)論的序號為 ①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、相互垂直的直線充要條件、橢圓的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．