Question

17．設(shè)正數(shù)x，y滿足$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a•$\sqrt{x+y}$恒成立，則a的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先用分離參數(shù)法將問(wèn)題等價(jià)為：a≥[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max，再用基本不等式$a+b≤\sqrt{2（a^2+b^2）}$，求該式的最大值．

解答 解：因?yàn)閤，y都為正數(shù)，且$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a•$\sqrt{x+y}$恒成立，
分離參數(shù)a得，a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
所以，a≥[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max，
根據(jù)基本不等式：$a+b≤\sqrt{2（a^2+b^2）}$得，
$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤$\sqrt{2（x+y）}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+y}$，
所以，$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\sqrt{2}$，
所以，[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max=$\sqrt{2}$，因此，a≥$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用，運(yùn)用分離參數(shù)法，屬于中檔題．