Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a₂=4，$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，n∈N^*，寫出命題“存在正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{4}{7}$”的否定，并證明其為真命題．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：命題“存在正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{7}{4}$”的否定是“對任意的正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$”．證明如下：
∵$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，
∴2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n³-n²-$\frac{2}{3}$n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1），②
由①-②，得2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+1×（n-1）=n，∴a_n=n²（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，上式顯然成立．∴a_n=n²，n∈N*．
①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜$\frac{7}{4}$，∴原不等式成立．
②當(dāng)n≥2時(shí)，∵n²＞（n-1）•（n+1），
∴$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）•（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{7}{4}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，∴原不等式亦成立．
綜上，對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查命題的否定，考查數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)學(xué)歸納法，難度大．