Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）是偶函數(shù)．
（1）求φ的值；
（2）求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），使用誘導公式得出φ；
（2）利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式或等式求出對稱中心和單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+φ）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=sin（-2x+φ）=sin（2x+π-φ）=f（x）=sin（2x+φ），
∴π-φ-φ=2kπ，即φ=$\frac{π（1-2k）}{2}$，k∈Z．
∵-π＜φ＜0，∴當k=1時，φ=-$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-cos2x．
令2x=$\frac{π}{2}+kπ$得x=$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的對稱中心是（$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
令-π+2kπ≤2x≤2kπ．解得-$\frac{π}{2}+kπ$≤x≤kπ．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[-$\frac{π}{2}+kπ$，kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．