Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂₀₁₃=a₂₀₁₂+2a₂₀₁₁，且

an•am

=4a1，則6（

1

m

+

1

n

）的最小值為（　�。�

• A、4
• B、2
• C、

  2

  3

• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知可解得數(shù)列的公比q，進(jìn)而可得n+m=6，代入要求的式子由基本不等式可得．

解答： 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＞0
∵a₂₀₁₃=a₂₀₁₂+2a₂₀₁₁，
∴a₂₀₁₁q²=a₂₀₁₁q+2a₂₀₁₁，
同除以a₂₀₁₁可得q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去），
又∵

an•am

=4a1，
∴a_n•a_m=a12qn+m-2=a122n+m-2=16a12，
∴2^n+m-2=16=2⁴，
∴n+m-2=4，
變形可得n+m=6，
∴6（

1

m

+

1

n

）=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m • m n

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

m

n

，即m=n=3時(shí)取等號(hào)，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．