Question

9．已知f（x）=|log₂x|，g（x）=f（x）-m，函數(shù)y=g（x）有兩個零點x₁，x₂．
（1）求 f（$\frac{1}{2}$），f（2）的值；
（2）求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求證x₁．x₂=1．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)運算可得f（$\frac{1}{2}$）=|log₂$\frac{1}{2}$|=1，f（2）=|log₂2|=1；
（2）作函數(shù)f（x）=|log₂x|的圖象，從而確定實數(shù)m的取值范圍；
（3）由題意可得|log₂x₁|=|log₂x₂|，即log₂x₁+log₂x₂=0，從而證明．

解答 解：（1）f（$\frac{1}{2}$）=|log₂$\frac{1}{2}$|=1，f（2）=|log₂2|=1；
（2）作函數(shù)f（x）=|log₂x|的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，實數(shù)m的取值范圍為（0，+∞）；
（3）證明：∵x₁，x₂是函數(shù)y=g（x）的兩個零點，
∴|log₂x₁|=|log₂x₂|，
即log₂x₁+log₂x₂=0，
即log₂（x₁x₂）=0，
故x₁．x₂=1．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用及對數(shù)運算的應(yīng)用．