Question

14．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+（2+4$\sqrt{3}$）sinxcosx-2cos² x+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)區(qū)間及最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)區(qū)間，再利用定義域和值域求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+（2+4$\sqrt{3}$）sinxcosx-2cos² x+1
=-$\sqrt{2}$sin2xcos$\frac{π}{4}$-$\sqrt{2}$cos2xsin$\frac{π}{4}$+（1+2$\sqrt{3}$）sin2x-cos2x
=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函數(shù)在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）求得最小值為-2；
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）求得最大值為4．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，定義域和值域，屬于中檔題．