Question

17．設(shè)關(guān)于x的不等式$\frac{x+3}{k+1}$＞1+$\frac{2x-3}{（k+1）^{2}}$（k∈R且k≠-1）
（1）解此不等式；
（2）若此不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$），求k的值；
（3）若x=-2是不等式的解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡，分類討論，即可求出不等式的解集；
（2）由題意得到$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$=-$\frac{1}{2}$，解的即可，
（3）代值，解不等式即可．

解答 解：（1）$\frac{x+3}{k+1}$＞1+$\frac{2x-3}{（k+1）^{2}}$（k∈R且k≠-1），
∴（x+3）（k+1）＞（k+1）²+2x-3，
∴x（k-1）＞（k+1）²-3-3（k+1）=k²-k-5，
當k＞1時，x＞$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$，此時不等式的解集為{x|x＞$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$}
當k＜1時且k≠-1時，x＜$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$，此時不等式的解集為{x|x＜$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$}
當k=1時，x∈R，此時不等式的解集為R；
（2）此不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$=-$\frac{1}{2}$
解得k=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{22}}{2}$（舍去），k=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
（3）x=-2是不等式的解，
∴-2（k-1）＞k²-k-5，
即k²+k-7＜0，
解得$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{7}$＜k＜$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{7}$，且k≠-1，
∴k的取值范圍為（$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{7}$，-1）∪（-1，$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了不等式的解法，和分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．