Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，前n項和為S_n，且S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列可知（3+3d）²=9+36d，解出d的值，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知，當(dāng)a_n=1時T_n=n；當(dāng)a_n=2n-1時，裂項、并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則（3+3d）²=9+36d，
即d（d-2）=0，∴d=0或d=2，
當(dāng)d=0時，a_n=1；
當(dāng)d=2時，a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，當(dāng)a_n=1時，T_n=n；
當(dāng)a_n=2n-1時，T_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．