Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．
①求證：f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
②設(shè)函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，求線段AB的取值范圍．
（Ⅱ）若存在x₁、x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試說(shuō)明方程f（x）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，必有一根在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①欲證證明f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，只須由△＞0得圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可；
②利用韋達(dá)定理的推論，求出AB，可得緒論；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的凸凹性可得結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）①由f（1）=0得a+b+c=0，即b=-a-c
∵a＞b＞c，
∴△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²＞0
∴f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
解：②由①得：a＞0，
∴|AB|=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{a-c}{a}$∈（1，3）．
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）中①得a＞0，
故f（x）為凹函數(shù)，
∵x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），
故y=f（x），x∈（x₁，x₂）與y=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
故方程f（x）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，必有一根在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．