Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，5），
（1）求實(shí)數(shù)m的值，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（1，5）帶入f（x）便可得到m=4，從而得到f（x）=$x+\frac{4}{x}$，容易得出f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而判斷f（x₁），f（x₂）的關(guān)系，這便可得出f（x）在[1，2]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）的圖象過點(diǎn)（1，5）；
∴5=1+m；
∴m=4；
∴$f（x）=x+\frac{4}{x}$；
f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（-x）=-x$-\frac{4}{x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵1≤x₁＜x₂≤2；
∴x₁-x₂＜0，1＜x₁x₂＜4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．