Question

7．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是SC的中點(diǎn)，求證：EF∥面SAD；
（Ⅱ）求四棱錐S-ABCD的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證EF∥面SAD，只要證明EF平行于面內(nèi)的一條直線；
（Ⅱ）關(guān)鍵是分別求出平面SBC，SCD的面積；首先要判斷它們各自的形狀．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是SC的中點(diǎn)，過F作FG∥CD，
則G是SD的中點(diǎn)，（1分）
又因?yàn)?AE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC$，所以$FG\underline{\underline{∥}}AE$．（2分）
所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，（3分）
又因?yàn)镋F?面SAD，AG?面SAD，所以EF∥平面SAD．（4分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镾A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以BC⊥AB，BC⊥SA
且AB∩SA=A，所以BC⊥平面SAB．（8分）
又因?yàn)镾B?平面SAB，所以BC⊥SB．所以△SBC是直角三角形．（9分）
SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，所以${S_{Rt△SBC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．（10分）
同理可得${S_{Rt△SDC}}=2\sqrt{2}$．（11分）又S_△SAD=S_△SAB=2，
所以四棱錐S-ABCD的側(cè)面積是4+4$\sqrt{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是將線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系．