Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$（a＞1）．
（1）求證：f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求證：f（x）=0沒有負數(shù)根；
（3）若a=3，求方程f（x）=0的根（精確到0.1）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的性質(zhì)進行推理證明即可．
（3）利用二分法進行求解即可．

解答 證明：（1）設(shè)-1＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=
${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$$-\frac{{x}_{2}-2}{{x}_{2}+1}$=${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$+$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax₁＜ax₂，∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）假設(shè)x₀是方程f（x）=0的負數(shù)根，且x₀≠-1，則${a}^{{x}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$=0，
即${a}^{{x}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$=$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1，①
當-1＜x₀＜0時，0＜x₀+1＜1，
∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$＞3，
∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1＞2，而由a＞1知${a}^{{x}_{0}}$＜1．∴①式不成立；
當x₀＜-1時，x₀+1＜0，∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$＜0，∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1＜-1，而${a}^{{x}_{0}}$＞0．
∴①式不成立．綜上所述，方程f（x）=0沒有負數(shù)根．
（3）由（1）知，當a=3時，f（x）=3^x+$\frac{x-2}{x+1}$在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
故在（0，+∞）上也單調(diào)遞增，因此f（x）=0的正根僅有一個，
以下用二分法求這一正根，由于f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，
∴取（0，1）為初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列出下表：

區(qū)間	中點	中點函數(shù)值
（0，1）	0.5	0.732
（0，0.5）	0.25	-0.084
（0.25，0.5）	0.375	0.322
（0.25，0.375）	0.312 5	0.124

由于|0.312 5-0.25|=0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取為0.312 5．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查學生的運算能力，綜合性較強．